Question

【题目】如图，∠AOB＝120°，点C为平面内一点，作射线OC，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD．

（1）若点C为∠AOB内部一点且∠AOC＝30°，依题意补全图形，并求出∠EOC的度数；

（2）若点C为∠AOB内部一点，∠AOC＝α（0＜α＜120°）直接用含α的代数式表示∠EOC的度数；

（3）若∠EOC＝10°，请你直接写出所有符合条件的∠AOC度数（0＜∠AOC＜180°）

Answer 1

【答案】（1）补图详见解析，∠EOC＝7.5°；（2）∠EOC＝|α﹣30°|；（3）∠AOC＝或．

【解析】

（1）首先求出∠COB的度数，然后根据角平分线的定义求得∠DOB=∠DOC=45°，那么∠DOA=75°，再根据角平分线的定义求得∠DOE，然后根据∠EOC=∠DOC-∠DOE求解；
（2）与（1）解法相同；
（3）根据（2）的结论解答即可．

解：（1）补全图形如图1所示，

∵∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，

∴∠COB＝90°；

∵OD平分∠BOC，

∴∠DOB＝∠DOC＝45°；

∵∠AOB＝120°，∠DOB＝45°，

∴∠DOA＝75°；

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE＝∠AOE＝37.5°；

∴∠EOC＝∠DOC﹣∠DOE＝45°﹣37.5°＝7.5°；

（2）如图2所示，

∵∠AOB＝120°，∠AOC＝α，

∴∠COB＝120°﹣α；

∵OD平分∠BOC，

∴∠DOB＝∠DOC＝60°﹣α；

∵∠AOB＝120°，∠DOB＝60°﹣α，

∴∠DOA＝60°+α；

∵OE平分∠AOD，

∴∠DOE＝∠AOE＝30°+α；

∴∠EOC＝|∠DOE﹣∠DOC|＝|30°+α﹣（60°﹣α）|＝|α﹣30°|．

（3）如图所示，

由（2）得，|∠AOC﹣30°|＝10°，

解得∠AOC＝或．