Question

【题目】如图，已知ABCD 中，∠BDC＝45°，BE⊥CD 于 E，DG⊥BC 于 G，BE、DG 相交于 H，DG、AB 的延长线 相交于 F，下面结论：①∠A＝∠DHE；②△DCG≌△BCE；③AD＝DH；④DH=HF其中正确的结论有________（只填正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

根据等腰直角三角形的性质，结合平行四边形的性质可证得△DHE≌△BCE，从而可判断①③正确，可判断②错误；通过平行四边形的性质和三角形全等即可判断④错误．

∵∠BDE=45°，BE⊥CD，
∴BE=DE，

∵DG⊥BC，BE⊥CD，
∴∠BED=∠DGC=90°，

∴∠C+∠CDG =∠DHE +∠CDG =90°，

∴∠C=∠DHE，

在△BCE和△DHE中，

，
∴△BCE≌△DHE，
∴DH=BC，

∵ABCD中，
∴∠C=∠A，AD=BC，
∴∠A=∠DHE，DH=AD，

∴①③正确，

∵△DCG与△DHE不是全等三角形，

∴△DCG与△BCE也不是全等三角形，

∴②错误；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴FB∥CD，

在Rt△FBG和Rt△DCG中，

没有条件证明有边相等，

∴Rt△FBG和Rt△DCG不一定是全等三角形，

∴④错误．

综上，只有①③正确．

故答案为：①③．