Question

【题目】在图1、图2、图3中，直线MN与线段AB的延长线或AB交于点O，点C和点D在直线MN上，且∠ACM =∠BDM = 45°．

（1）在图1中，点O在AB的延长线上，且AO=3BO，请直接写出AC与BD的数量关系与位置关系；

（2）在图2中，点O在AB上，且AO=BO，写出AC与BD的数量关系与位置关系并证明．

（3）在图3中，点O在AB上，且AO=kBO，求的值．

Answer 1

【答案】（1） BD∥AC; AC=3BD；（2） AC⊥BD；AC=BD；（3）k.

【解析】

试题分析：（1）由∠ACM=∠BDM=45°得出BD∥AC，得出△ACO∽△BEO，利用对应边成比例得出答案即可；

（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，根据平行线的性质得到∠BED=45°，根据邻补角的定义得到∠OEB=∠ACO=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）过点B作BE∥CA交DO于E，根据平行线的性质得到∠BEO=∠ACO．根据相似三角形的性质得到．根据已知条件即可得到结论．

试题解析：（1）∵∠ACM=∠BDM=45°，

∴BD∥AC，

∴△ACO∽△BEO，

∴，

又∵AO=3BO，

∴，

即AC=3BD；

（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，

∵∠ACM=∠BDM=45°，BE⊥BD，

∴∠BED=∠BDM=45°，

∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，

∴AC∥BE，

∵BE⊥BD，

∴AC⊥BD，

在△ACO和△BEO中，

，

∴△ACO≌△BEO，（AAS）

∴AC=BE，

∴AC=BD；

延长AC交DB的延长线于F，如图2，

∵BE∥AC，

∴∠AFD=90°．

∴AC⊥BD；

（3）如图3，过点B作BE∥CA交DO于E，

∴∠BEO=∠ACO．

又∵∠BOE=∠AOC，

∴△BOE∽△AOC．

∴．

又∵AO=kBO，

由（2）的方法易得BE=BD，

∴=k．