Question

【题目】已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，并延长AG、BC交于点H，∠DFC=∠EGC．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：点G为CD中点；
（3）求证：∠AGE=2∠CEG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2， ∴DC=CE=2CF=4，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=4，

∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；

（2）证明：∵在△DCF和△ECG中， ，

∴△DCF≌△ECG（AAS）， ∴CG=CF，

∵CE=CD，CE=2CF，

∴CD=2CG，

即G为CD中点；

（3）由（2）证得G为CD中点， ∴CG=DG，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠ADG=∠HCG，∠DAG=∠H，∴△AGD≌△CHG（AAS）∴ AG=HG，

如图：取AE的中点M，再连接GM

∵点M，G分别是AE，AH的中点

∴MG∥EH，∴∠EGM=∠CEG，∵BC⊥AE，∴ GM⊥AE

∵ GM⊥AE，AM=EM，∴ AG=EG，

∴ GM平分∠AGE（三线合一）

∴∠AGE=2∠MGE， 又∵∠EGM=∠CEG，

∴∠AGE=2∠CEG．