Question

【题目】如图，是正方形的对角线，.边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、.

(1)请直接写出线段在平移过程中，四边形是什么四边形；

(2)请判断、之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式.

Answer 1

【答案】(1)四边形是平行四边形；(2)且，证明见解析；(3)见解析.

【解析】

（1）根据平移的性质，可得PQ=BC=AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得函数关系式.

(1)根据平移的性质可得，PQ=BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AD，BC∥AD，

∴PQ=AD，PQ∥AD，

∴四边形是平行四边形.

(2)且.证明如下：

①当向右平移时，如图，

∵四边形是正方形，

∴，.

∵，∴.

∵，

∴，

∴

∴，

∴.

在和中，

∴，

∴，.

∵，

∴，即.

∴，

∴且.

②当向左平移时，如图，

同理可证，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴且.

(3)过点作于.

在中，，

∴.

①当向右平移时，如图，

，

∴.

∵，

∴.

②当向左平移时，如图，

，

∴.

∵.

∴.