Question

【题目】如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．

（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，

∴中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn．

方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．

（2）解：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn）．
（3）解：由（2）得（m+n）2﹣4×12=42，即（m+n）2=64，

∴m+n=±8．又m、n非负，∴m+n=8．

【解析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2 ， 四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2 ． （2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．（3）由（2）得，将m﹣n=4，mn=12，代入（2）式可求m+n=8．
【考点精析】利用完全平方公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知首平方又末平方，二倍首末在中央．和的平方加再加，先减后加差平方．