Question

【题目】已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣ 之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2，

∵（3m﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴原方程有两个实数根

（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=﹣ ，

∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，

∴m=1，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3

（3）解：如图，

∵当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

∵当y=0时，x1=﹣3，x2=﹣1，

又∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∵点D与点B关于y轴对称，

∴D（1，0），

设直线CD的解析式为：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直线CD的表达式为：y=﹣3x+3，

又∵当x=﹣ 时，y= ，

∴点E（﹣ ， ），

∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣ +n， ），

当直线y=﹣3x+3经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，

当直线y=﹣3x+3经过点E′（﹣ +n， ），时，得：﹣3（﹣ +n）+3= ，解得：n= ，

∴n的取值范围是 ≤n≤4．

【解析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D的坐标，根据待定系数法求出直线CD的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣ +n， ），根据点在直线上，求出取值范围即可．