Question

【题目】探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　 　°；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由见解析；（2）①40°；②90°；③70°．

【解析】

（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；

②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

③由②方法，进而可得答案．

解：（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；

∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，

∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；

∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，

又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，

所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；

②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，

∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，

∴∠ADB+∠AEB＝80°；

∴∠DCE＝(ADB+∠AEB)+A=40°+50°=90°；

③由②知，∠BG1C＝(ABD+∠ACD)+A，

∵∠BG1C＝77°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，

∴(40﹣x)x＝77，

∴14﹣x+x＝77，

∴x＝70，

∴∠A为70°．