Question

【题目】如图，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： a．若∠A=50°，则∠P=65°=90°﹣ ；
b．若∠A=90°，则∠P=45°=90°﹣ ；
c．若∠A=100°，则∠P=40°=90°﹣ ；

（1）根据上述规律，若∠A=150°，则∠P=；
（2）请你用数学表达式归纳出∠P与∠A的关系；
（3）请说明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：15°
（2）解：∠P与∠A的关系为∠P=90°﹣ ∠A
（3）解：理由如下：

如图，

∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，

∴∠1= ∠DBC，∠2= ∠BCE，

∵∠P=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣ （∠DBC+∠BCE），

而∠DBC=180°﹣∠ABC，∠BCE=180°﹣∠ACB，

∴∠P=180°﹣ （180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）

= （∠ABC+∠ACB），

而∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴∠P= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A．

【解析】解：（1）若∠A=150°，则∠P=90°﹣ =15°；所以答案是15°；
【考点精析】利用三角形的内角和外角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．