Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

【答案】证明见解析．

【解析】

延长AB到D，使BD=BP，连接PD，由题意得：∠D=∠5=∠4=∠C=40°，从而得QB=QC，易证△APD≌△APC，从而得AD=AC，进而即可得到结论．

延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠5．

∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，

∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，

∴QB=QC，

又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，

∴∠D=40°．

在△APD与△APC中，

∴△APD≌△APC（AAS），

∴AD=AC．

∴AB+BD=AQ+QC，

∴AB+BP=BQ+AQ．