Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2 =0的两根（k为常数）．

（1）求证：PABD=PBAE；

（2）求证：⊙O的直径长为常数k；

（3）求tan∠FPA的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣ .

【解析】试题分析：

（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；

（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；

（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．

试题解析：

（1）证明：如图，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠PBD=∠A，

∵PF平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∴△PBD∽△PAE，

∴PB：PA=BD：AE，

∴PABD=PBAE；

（2）证明：如图，

∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．

又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，

∴∠BED=∠BDE．

∴BE=BD．

∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），

∴AE+BD=k，

∴AE+BD=AE+BE=AB=k，

即⊙O直径为常数k．

（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．

∴∠PBA=90°．

∵∠A=60°．

∴PB=PAsin60°=PA，

又∵PABD=PBAE，

∴BD=AE，

∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．

∴AEBD=2，

即AE2=2，

解得：AE=2，BD=，

∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，

在Rt△PBA中，PB=ABtan60°=（2+）×=3+2．

在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，

∵∠FPA=∠BPF，

∴tan∠FPA=2﹣．