Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好落在AB边上，连接AE. 求：

（1）旋转角的度数；

（2）AE的长度.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）.

【解析】

（1）由旋转的性质可知AC=DC， BC=EC，∠ACB=∠DCE=90°.证△ACD是等边三角形，可得∠ACD=60°,即旋转角的度数为60°；（2）连接BE，证△BCE是等边三角形.

求出BE=BC=，∠CBE=60°，由勾股定理可得：.

（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，

∴∠BAC=90°-∠ABC=60°，AB=2AC=2，BC=.

由旋转的性质可知AC=DC， BC=EC，∠ACB=∠DCE=90°.

∵CA=CD，∠BAC=60°，

∴△ACD是等边三角形.

∴∠ACD=60°,即旋转角的度数为60°.

（2）连接BE，

由（1），得∠BCD=30°.

∴∠BCE=60°.

∵BC=EC,

∴△BCE是等边三角形.

∴BE=BC=，∠CBE=60°.

∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，

∴.