Question

【题目】在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别为边BC与AD的中点，AE∥CD，延长BA，CD，分别与EF的延长线交于点G，H，连接AH，ED.

（1）求证：AH∥ED；

（2）求证：AE=AG.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析.

【解析】

（1）证△AEF≌△DHF. 得AE=DH.由AE∥DH，得四边形AEDH是平行四边形.（2）连接AC，设AC的中点为O，连接OE，OF.根据三角形中位线性质得OF∥CD，OF=CD，OE∥AB，OE=AB，OE=OF. 得∠OFE=∠OEF，∠DHE =∠AGE. 由AE∥DH，得∠DHE =∠AEG. 所以∠AGE =∠AEG.

（1）∵AE∥CD，

∴∠AEF=∠DHF，∠FAE=∠FDH.

∵AF=FD，

∴△AEF≌△DHF.

∴AE=DH.

∵AE∥DH，

∴四边形AEDH是平行四边形.

∴AH∥ED.

（2）连接AC，设AC的中点为O，连接OE，OF.

∵E，F分别为边BC与AD的中点，

∴OF∥CD，OF=CD，OE∥AB，OE=AB.

∴∠OFE=∠DHE，∠OEF=∠AGE.

∵AB=CD，

∴OE=OF.

∴∠OFE=∠OEF.

∴∠DHE =∠AGE.

∵AE∥DH，

∴∠DHE =∠AEG.

∴∠AGE =∠AEG.

∴AE=AG.