Question

【题目】如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，若点P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为x（s）．

（l）求x为何值时，PQ⊥AC；x为何值时，PQ⊥AB？

（2）当O＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，说出理由；

（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

Answer 1

【答案】（1）当x=（Q在AC上）时，PQ⊥AC；x=时PQ⊥AB；（2）AD平分△PQD的面积；（3）当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

【解析】

试题分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；

若使PQ⊥AB，则根据路程=速度×时间表示出BP，BQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；

（2）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；

（3）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．

试题解析：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，

当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4-x=2×2x，

∴x=；

当x=（Q在AC上）时，PQ⊥AC；

如图：①

当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=x，AC+AQ=2x；

∵AC=4，

∴AQ=2x-4，

∴2x-4+x=4，

∴x=，

故x=时PQ⊥AB；

（2）过点QN⊥BC于点N，

当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；

∴NC=x，

∴BP=NC，

∵BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面积；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，

当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切，

当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．