Question

【题目】如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8cm，CD=2 cm，求弦AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，如图所示：

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠0CA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠OAC=∠CAD，

∴∠CAD=∠ACO，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：作OF⊥AE于F，如图2所示：

则AF= AE，四边形OFDC是矩形，

∴OF=CD=2 cm，

∵OA= AB=4cm，

∴AF= = =2，

∴AE=2AF=4．

【解析】（1）连接OC，根据等边对等角，角平分线的定义及等量代换得出∠CAD=∠ACO，从而根据内错角相等两直线平行得出OC∥AD，然后根据平行线的性质得出CD⊥OC，即CD为⊙O的切线；
（2）作OF⊥AE于F，根据垂径定理得出得出AF=AE,根据三个角是直角得四边形是矩形得出四边形OFDC是矩形，根据矩形的对边相等得出OF=CD，然后利用勾股定理得出AF的长，从而得出AE的长。
【考点精析】通过灵活运用平行线的判定与性质和垂径定理，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可以解答此题．