Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=m°（m>90）,则BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是_______（用m来表示）.

Answer 1

【答案】360°-2m°.

【解析】

根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，利用三角形内角和定理即可得出∠AA′M+∠A″=180°-m°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．

作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于

M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠BAD=m°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=180°-m°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×（180°-m°）=360°-2m°，

故答案为：360°-2m°.