Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形，请你把猜想出的AM值作为已知条件，说明四边形AMDN是矩形的理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）当AM＝2时，说明四边形是矩形

【解析】

（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，根据对顶角相等可得∠DEN=∠AEM，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角边角”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=AM，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）首先证明△AEM是等边三角形，进而得到AE=ED=EM，利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出△AMD是直角三角形，进而得出四边形AMDN是矩形．

（1）∵点E是AD边的中点，

∴AE＝ED，

∵AB∥CD，

∴∠NDE＝∠MAE，

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（ASA），

∴ND＝AM，

∵ND∥AM，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）当AM＝2时，说明四边形是矩形．

∵E是AD的中点，

∴AE＝2，

∵AE＝AM，∠EAM＝60°，

∴△AME是等边三角形，

∴AE＝EM，

∴AE＝ED＝EM，

∴∠AMD＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

故当AM＝2时，四边形AMDN是矩形．