Question

【题目】已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

（1）当点E落在线段CD上时（如图），

①求证：PB=PE；

②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；

（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；

（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为；（2）画图见解析，成立 ；（3）能，1.

【解析】分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．

（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．

（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．

详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．

∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，

∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．

∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH．

在△PGB和△PHE中，

，

∴△PGB≌△PHE（ASA），

∴PB=PE．

②连接BD，如图2．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF．

∵EF⊥PC即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE．

在△BOP和△PFE中，

∴△BOP≌△PFE（AAS），

∴BO=PF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∴BC=OB．

∵BC=1，∴OB=，

∴PF=．

∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．

（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．

同理可得：PB=PE，PF=．

（3）①若点E在线段DC上，如图1．

∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．

∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．

若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．

∴∠EPC=∠ECP=45°，

∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，

∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．

②若点E在线段DC的延长线上，如图4．

若△PEC是等腰三角形，

∵∠PCE=135°，

∴CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP=22.5°．

∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．

∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，

∴∠PBR=∠CER=22.5°，

∴∠ABP=67.5°，

∴∠ABP=∠APB．

∴AP=AB=1．

∴AP的长为1．