Question

【题目】如图所示，在菱形ABCD中，AC是对角线，CD＝CE，连接DE．

（1）若AC＝16，CD＝10，求DE的长．

（2）G是BC上一点，若GC＝GF＝CH且CH⊥GF，垂足为P，求证：DH＝CF．

Answer 1

【答案】（1）2（2）见解析

【解析】

(1)连接BD交AC于K.想办法求出DK，EK，利用勾股定理即可解决问题;
(2)证明：过H作HQ⊥CD于Q,过G作GJ⊥CD于J.想办法证明∠CDH=∠HGJ=45°,可得DH=QH解决问题.

（1）解：连接BD交AC于K．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AK＝CK＝8，

在Rt△AKD中，DK＝＝6，

∵CD＝CE，

∴EK＝CE﹣CK＝10﹣8＝2，

在Rt△DKE中，DE＝＝2．

（2）证明：过H作HQ⊥CD于Q，过G作GJ⊥CD于J．

∵CH⊥GF，

∴∠GJF＝∠CQH＝∠GPC＝90°，

∴∠QCH＝∠JGF，

∵CH＝GF，

∴△CQH≌△GJF（AAS），

∴QH＝CJ，

∵GC＝GF，

∴∠QCH＝∠JGF＝∠CGJ，CJ＝FJ＝CF，

∵GC＝CH，

∴∠CHG＝∠CGH，

∴∠CDH+∠QCH＝∠HGJ+∠CGJ，

∴∠CDH＝∠HGJ，

∵∠GJF＝∠CQH＝∠GPC＝90°，

∴∠CDH＝∠HGJ＝45°，

∴DH＝QH，

∴DH＝2QH＝CF．