Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.

（1）线段AF与GB相等吗？

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，△EFG为等腰直角三角形，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）AF=GB；（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析.

【解析】

试题（1）根据平行四边形的性质，AD=BC，要求AF=GB，可先利用角关系求解AG=BF，再减去公共线段FG即可；

（2）由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了，要成为等腰直角三角形，则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF=45°，从而即可推得四边形ABCD是矩形．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC，

∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF，

∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF，

∴AD＝AG，BF＝BC，

∴AG＝BF，即AG-FG＝BF-FG，

∴AF＝BG；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADC＋∠BCD＝180°，

∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，

∴∠EDC＋∠ECD＝90°，

∴∠DEC＝90°，

∴∠FEG＝90°，

∵要想△EFG为等腰直角三角形，

∴∠BFE=∠FGE=45°，

∴∠ADC=2∠CDG=2∠FGE=90°，

因此四边形ABCD为矩形.