Question

【题目】（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG，G在AD边上，E在CD的延长线上．求证：AE=CG，AE⊥CG；

（2）如图2，若将图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转角度θ（0°＜θ＜90°），此时AE=CG还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°时，延长CG交AE于点H，当AD=4，DG=时，求线段CH的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）先判断出△ADE≌△CDG，然后用互余判断出垂直；

（2）先判断出△ADE≌△CDG，然后用互余判断出垂直；

（3）先判断出△ADE≌△CDG，然后用互余判断出垂直，然后用勾股定理计算出CM，AM最后用相似即可．

试题解析：（1）在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG，∠AED=∠CGD，

∵∠DCG+∠CGD=90°，

∴∠DCG+∠AED=90°，

∴AE⊥CG．

（2）∵∠CDG+∠ADG=90°，∠ADE+∠ADG=90°，

∴∠CDG=∠ADE

在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴AE=CG，∠AED=∠CGD，

∵∠DCG+∠CGD=90°，

∴∠DCG+∠AED=90°，

∴AE⊥CG．

（3）如图，

过点E作AD的垂线，垂足为N，连接AC，

在△ADE和△CDG中，

DE=DG，∠ADE=∠CDG，AD=CD，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠EAD=∠DCM

∴tan∠DCM=，

∴DM=CD=

∴CM==，AM=AD﹣DM=

∵△CMD∽△AMH，

∴，

∴AH=，

∴CH==．