Question

【题目】如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），

（1）点B的坐标为 ；

（2）若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图②，连接DE，则BP与DE的关系（位置与数量关系）是 ，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图③，在 P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE＝ °；

（4）在（1）的条件下，点 M在 x 轴上，在平面内是否存在点N，使以 B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（－3，2）；（2）BP与DE的关系是垂直且相等，证明详见解析；（3）∠DFE＝ 150 °；（4）存在，点N坐标为（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）

【解析】

（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，证明△BEO≌△OFD，则可得OF=BE，OE=FD，根据点D的坐标（2，3），可求得点B坐标；

（2）如图，通过证明△ABP≌△ADE(SAS)，可得∠4=∠5，BP=DE，进而可证明∠BDE=90°，则，BP与DE垂直且相等得证；

（3）由等边△APF和等腰直角△PAE，可知△AFE为等腰三角形，顶角为30°，且EF为底边，所以当腰AF最小时，底边EF则最小，故而AP垂直BD时，AF=AP此时取最小值，此时易证△AFE≌△PFD，故而∠AFE=∠PFD=75°，根据周角为360°，即可计算∠EFD的度数；

（4）分情况讨论，①当BD为菱形的边时，通过作图构造直角三角形，使用勾股定理先求对应点M坐标，再根据菱形的性质及平移思想，求点N坐标；②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，同样构造直角三角形，使用勾股定理求解即可．

解（1）：过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，

∵ABOD为正方形，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），

∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，

∴△BEO≌△OFD，

∴OF=BE，OE=FD，

∴点B的坐标为（－3，2），

故答案为：（－3，2）；

（2）BP与DE的关系是：垂直且相等；

证明：如图，

∵正方形ABOD，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵∠PAE＝90°，

∴∠BAD－∠3＝∠PAE－∠3，

即∠1＝∠2，

∵AP＝AE，

∴△ABP≌△ADE(SAS)，

∴∠4＝∠5， BP＝DE，

∵∠4＋∠6＝90°，

∴∠5＋∠6＝90°，

即∠BDE=90°，

∴BP⊥DE，

∴BP与DE垂直且相等，

故答案为：垂直且相等；

（3）∵△APF为等边三角形，△PAE为等腰直角三角形，且∠PAE=90°，

∴AF=AE，∠FAE=30°，

即△AFE为等腰三角形，且EF为底边，

∴当EF最小时，AF=AE应该取最小值，即AP应当取最小值，

∵四边形ABOD为矩形，BD为ABOD一条对角线，

∴当AP⊥BD时，EF有最小值，如下图所示，

∴AP=PD=AE，∠PAD=∠APD=90°，

∴∠EAF=∠DPF=30°，

又∵AF=PF，

∴△AFE≌△PFE，

∴∠PFD=∠AFE=75°，

∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，

即，当EF取最小值时，∠DFE=150°，

故答案为：150；

（4）∵D（2，3）,

∴OD＝，

∴BD＝，

①当BD为菱形的边时，

（Ⅰ）如图，作BQ⊥x轴于Q，

MB＝BD＝，在Rt△BQM中根据勾股定理，可得M1（－3，0）、M2（－－3，0），

∵B向右平移5个单位再向上平移1个单位得到D，

∴N1（＋2，1）、N2（－＋2，1）；

（Ⅱ）如图，作TP垂直x轴于P，

MD＝BD＝，在Rt△DPM中根据勾股定理，可得M3（＋2，0）、M4（－＋2，0），

∵D向左平移5个单位再向下平移1个单位得到B，

∴N3（－3，－1）、N4（－－3，－1）

②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，

如图，作AJ∥x轴交y轴于R，过点D作JK⊥x轴垂足为K，交AJ于点J，

易证△ALD≌△DKO，

∴JK=5，

在Rt△ARO中使用勾股定理，即可求N5（－1，5），

综上所述，点N坐标为（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）．