Question

【题目】已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．

（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；

（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；

（Ⅲ）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）﹣4（Ⅱ）①3，②﹣b2+3；③8b+19（Ⅲ）①y=x2+x+7，②b=﹣（舍）或b=（舍）③b=或b=﹣2，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；

（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；

（Ⅲ）当c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可．

解：（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴x=﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，

（Ⅱ）y=x2+2bx+3，的对称轴为x=﹣b，

①若﹣b＜0，即b＞0时，当x=0时，y有最小值为3，

②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0时，当x=﹣b时，y有最小值﹣b2+3；

③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x=﹣4时，y有最小值为8b+19，

（Ⅲ）当c=4b2时，二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x=﹣b的抛物线，

①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，

∴当x=2b时，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2为最小值，

∴12b2=21，∴b=或b=﹣（舍）∴二次函数的解析式为y=x2+x+7，

②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，

当x=﹣b时，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，

∴3b2=21∴b=﹣（舍）或b=（舍），

③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，

∴当x=2b+3时，代入二次函数的解析式为y=x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，

∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=（舍），∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+16．

综上所述，b=或b=﹣2，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

“点睛”本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．