Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．

（1）求证：BE＝AD；

（2）求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）7．

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ，再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解．

试题解析：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC．

又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD．

（2）∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，又∵BQ⊥PQ，∴∠PBQ＝30°，∴PB＝2PQ＝6，∴BE＝PB＋PE＝7，∴AD＝BE＝7．