Question

【题目】平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．

（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A′B′O′C′由ABOC旋转得到，且A的坐标为（0，3），得

点A′的坐标为（3，0）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

将A，A′C的坐标代入，得

，

解得 ，

抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3

（2）解：∵AB∥OC，

∴∠OAB=∠AOC=90°，

∴OB= = ，

又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，

∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，

∴ = = ，

又△ABO的周长为4+ ，

∴△C′OD的周长为 =1+

（3）解：

作MN⊥x轴交AA′于N点，

设M（m，﹣m2+2m+3），

AA′的解析式为y=﹣x+3，N点坐标为（m，﹣m+3），MN的长为﹣m2+3m，

S△AMA′= MNxA′= （﹣m2+3m）×3

=﹣ （m2﹣3m）=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵0＜m＜3，∴当m= 时，﹣m2+2m+3= ，M（ ， ），

△AMA′的面积有最大值

【解析】（1）根据旋转的性质，可得A′点，根据待定系数法，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案；（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．