Question

【题目】已知：BOA是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．

（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是______，理由是___________．

（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．

（3）D点在公路OB上，O点到D点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）对称；点到直线的距离，垂线段最短．（2）画图见解析．（3）证明见解析．

【解析】

（1）过点P作OA的垂线即可得；

（2）作点P关于OA的对称点P′，连接P′Q，与OA的交点即为所求点C；

（3）过点C作OQ的垂线，交OB于点D，依据中垂线和角平分线的性质证明即可得．

（1）线段PN为所求．

（2）P→C→Q路径最短，点C即为所求．

（3）如图，△CDP即为所求．

由题意得：

OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，

∴△COP≌△DOP（SAS），

∴CP=DP，

∴△CDP为等腰三角形．