Question

【题目】如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．
（1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是 的中点，BC=a，写出求AE长的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB于D．

∴∠ODB=90°．

∵CF∥AB，

∴∠OMF=∠ODB=90°．

∴OM⊥CF．

∴点M是CF的中点

（2）解：思路：

连接DC，DF．

①由M为CF的中点，E为 的中点，

可以证明△DCF是等边三角形，且∠1=30°；

②由BA，BC是⊙O的切线，可证BC=BD=a．

由∠2=60°，从而△BCD为等边三角形；

③在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=BD=a，可以求得AD=a，CO= ，OA= ；

④AE=AO﹣OE= ﹣ = ．

解：连接DC，DF，

由（1）证得M为CF的中点，DM⊥CF，

∴DC=DF，

∵E是 的中点，

∴CE垂直平分DF，

∴CD=CF，

∴△DCF是等边三角形，

∴∠1=30°，

∵BC，AB分别是⊙O的切线，

∴BC=BD=a，∠ACB=90°，

∴∠2=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠A=30°，

∴OD= a，AO= a，

∴AE=AO﹣OE= a．

【解析】（1）根据切线的性质得到OD⊥AB于D．根据平行线的性质得到∠OMF=∠ODB=90°．由垂径定理即可得到结论；（2）连接DC，DF．由M为CF的中点，E为 的中点，可以证明△DCF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=30°；根据切线的性质得到BC=BD=a．推出△BCD为等边三角形；解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．