Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（﹣2，﹣4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于点C、x轴于点D．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣ ，顶点坐标为（﹣ ， ）]．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵对称轴为x=2，抛物线经过点B，

∴ ，

∴解得：a=﹣ ，b=2，

∴抛物线的解析式是：y=﹣ x2+2x+2

（2）

解：∵点A在y轴上，令x=0，则y=2，

∴点A坐标（0，2），

作BE⊥y轴于E，

∵AC⊥AB，AO⊥OD，

∴∠AOD=∠DAO，

又∵∠AOD=∠ABE，

∴∠ABE=∠DAO，

∵∠AEB=∠AOD=90°，

∴△ABE∽△DAO，

∴

∵B（﹣2，﹣4），

∴OA=2，AE=6，BE=2，

∴OD=6，

∴点D坐标是（6，0）

（3）

解：答：存在两个满足条件的点K，

∵AB=2 ，

∴S△ABC= ABAC=S平行四边形ACKL，

∴点K到直线AC距离为 AB= ；

①直线KL解析式为y=﹣ x+ ，

则﹣ x+ =﹣ x2+2x+2，

方程无解；

②直线KL解析式为y=﹣ x﹣ ，

则﹣ x﹣ =﹣ x2+2x+2，

解得：x= 或x= ，

∴存在K点，横坐标为 或

【解析】（1）根据对称轴为直线x=2和B是抛物线上点即可求得a、b的值，即可解题；（2）易求得点A坐标，作BE⊥x轴于E，易证△ABE∽△DAO，可得 ，即可求得OD的值，即可解题；（3）易求得AB长度，再根据S△ABC= ABAC=S平行四边形ACKL ， 可得点K到直线AC距离为 AB，易求得直线AC解析式，将直线AC向上或向下平移 单位，求得直线与抛物线交点即可解题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．