Question

【题目】如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC、PA的延长线交于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若sinE= ，PA=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA，如图，

∵AC∥OP，

∴∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠POA=∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO，

又∵PB⊥BC，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

∴OA⊥PE，

∴PA是⊙O的切线

（2）解：∵△PAO≌△PBO，

∴PB=PA=6，

在Rt△PBE中，∵sinE= =

∴ = ，解得PE=10，

∴AE=PE﹣PA=4，

在Rt△AOE中，sinE= = ，

设OA=3t，则OE=5t，

∴AE= =4t，

∴4t=4，解得t=1，

∴OA=3，

在Rt△PBO中，∵OB=3，PB=6，

∴OP= =3 ，

∵AC∥OP，

∴△EAC∽△EPO，

∴ = ，即 = ，

∴AC= ．

【解析】（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上∠ACO=∠CAO，则∠POA=∠POB，于是可根据“SAS”判断△PAO≌△PBO，则∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA是⊙O的切线；（2）先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE﹣PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE= = ，可设OA=3t，则OE=5t，由勾股定理得到AE=4t，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt△PBO中利用勾股定理计算出OP=3 ，然后证明△EAC∽△EPO，再利用相似比可计算出AC．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．