Question

【题目】在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段，且长度为的边所对的角为 小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：

　　

（1）当时（如图2），小明测得，请根据小明的测量结果，求的大小；

（2）当时，将沿翻折，得到（如图3），小明和小亮发现的大小与角度有关，请找出它们的关系，并说明理由；

（3）如图4，在（2）问的基础上，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使得，连接，请判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）是等腰三角形且BA=BF，理由见解析．

【解析】

（1）先根据三角形的内角和得∠C=70°，由等腰三角形的性质得∠BDC=70°，从而得∠CBD的度数，可得结论；
（2）设∠BDC=∠C=α，根据三角形的内角和与三角形外角的性质分别表示∠ABD和∠DBC，相加可得结论；
（3）作垂线BT，根据角平分线的性质得：BE=BT，证明Rt△ABE≌Rt△ABT（HL），得AE=AT，证明BE是AF的垂直平分线，可得结论．

（1）如图2，△ABC中，∠A=n°=45°，∠ABC=65°，
∴∠C=180°-45°-65°=70°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=70°，
∴∠DBC=180°-2×70°=40°，
∴∠ABD=65°-40°=25°；
（2）如图3，∠D'BC=180°-2n°，理由是：
设∠BDC=∠C=α，
∴∠DBC=180°-2α，
△ADB中，∠BDC=∠DAB+∠ABD，
即α=n°+∠ABD，
∴∠ABD=α-n°，
由翻折得：∠ABD'=∠ABD=α-n°，
∴∠D'BC=∠D'BD+∠DBC=2∠ABD+∠DBC=2（α-n°）+（180°-2α）=180°-2n°；
（3）△ABF是等腰三角形，且BF=AB，理由是：
如图4，过B作BT⊥AC于T，

由折叠得：∠D'BA=∠DAB，
∵BE⊥AF，
∴BE=BT，
在Rt△ABE和Rt△ABT中，
∵ ，
∴Rt△ABE≌Rt△ABT（HL），
∴AE=AT，
∵AD=AD'，
∴DT=D'E=TC，
∴(AD+AC)=AT，
∵EF= (AD+AC)，
∴AT=EF=AE，
∵BE⊥AF，即BE是AF的垂直平分线，
∴BF=AB，
∴△ABF是等腰三角形．