Question

【题目】在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.

又∵BF=DH,

∴AD+DH=BC+BF

即AH=CF.

在Rt△AEH中，EH=.

在Rt△CFG中，FG=.

∵AE=CG，

∴EH=FG.

同理得，EF=HG.

∴四边形EFGH为平行四边形.

（2）

解：在正方形ABCD中，AB=AD=1.

设AE=x，则BE=x+1.

∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°.

∴BE=BF.

∵BF=DH,

∴DH=BE=x+1.

∴AH=AD+DH=x+2.

∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2，

∴AH=2AE.

∴2+x=2x.

∴x=2.

即AE=2.

【解析】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.根据BF=DH,得出AH=CF.根据勾股定理 EH=.FG=.
由AE=CG得出EH=FG.EF=HG；从而证明四边形EFGH为平行四边形.
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1； 设AE=x，则BE=x+1；在Rt△BEF中，∠BEF=45°.得出BE=BF=DH=x+1；AH=AD+DH=x+2.
在Rt△AEH中，利用正切即可求出AE的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．