Question

【题目】已知二次函数y=kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）的图象开口向上，且k为整数，且该抛物线与x轴有两个交点（a，0）和（b，0）．一次函数y1=（k﹣2）x+m与反比例函数y2= 的图象都经过（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出y1＞y2时，x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，抛物线与x轴有两个交点，

令y=0，即kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）=0，

则△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，

解得，k＜3，

∵二次函数的图象开口向上，故k＞0，

又∵k为整数，k﹣2≠0，

∴k=1；

（2）解：由（1）得，y=x2﹣4x﹣2，

令x2﹣4x﹣2=0得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴a+b=4，ab=﹣2，

把（a，b）代入y1=﹣x+m， 得，m=a+b=4，n=ab=﹣2

∴一次函数的表达式为y1=﹣x+4，

∴反比例函数的表达式为y2=﹣ ，

当y1＞y2时，x＜2﹣ 或0＜x＜2+

【解析】（1）由抛物线与x轴有两个交点得出△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，解得，k＜3，又二次函数的图象开口向上，故k＞0，又k为整数，k﹣2≠0，从而得出K=1 ；
（2）首先利用抛物线与x轴的交点得出其交点的横坐标，进而求出a+b=4，ab=﹣2，然后求出m,n的值，从而得出一次函数及反比例函数的解析式，画出草图，根据图像要当y1＞y2时，自变量的值，主要能清楚谁大谁小，谁大就写谁的图像在上方时的自变量的取值即可。