【题目】如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为（1,0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；

（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

参考答案：

【答案】（1）解析式为： ；

（2）t=1或3；

（3）当a值为或时,△APQ与△ABD相似

【解析】试题分析：（1）根据一次函数的解析式可找出点B的坐标，再根据点A、D的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）假设存在，则点P的坐标为（t，0）．联立直线与抛物线解析式成方程组，解方程组求出点C的坐标，根据点B、P的坐标利用两点间的距离公式即可求出PB、PC、BC的长度，再利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论；（3）假设存在，则AP=2t，AQ=at．由一次函数解析式即可找出点A的坐标，结合点B、D的坐标即可得出AB、AD的长度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此题得解．

试题解析：(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=x2+bx+c，

得： ，

解得： ，

故解析式为；

(2)设符合条件的点P存在,令P(a,0):

当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；

∵Rt△BOP∽Rt△PCF，

∴，

即，

整理得a24a+3=0，

解得a=1或a=3；

故可得t=1或3.

(3)存在符合条件的t值，使△APQ与△ABD相似，

①当△APQ∽△ABD时, ，

解得：a=；

②当△APQ∽△ADB时, ，

解得：a=，

∴存在符合条件的a值,使△APQ与△ABD相似,a=或.

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