Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE。 求证：AC－AB＝2BE.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM，∴AC-AB=AC-AM=CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM利用等量代换即可求证．

证明：延长BE交AC于M

∵BE⊥AE，

∴∠AEB=∠AEM=90°

在△ABE中，

∵∠1+∠3+∠AEB=180°，

∴∠3=90°-∠1

同理，∠4=90°-∠2

∵∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∴AB=AM

∵BE⊥AE，

∴BM=2BE，

∴AC-AB=AC-AM=CM，

∵∠4是△BCM的外角

∴∠4=∠5+∠C

∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5

∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C

∴∠5=∠C

∴CM=BM

∴AC-AB=BM=2BE.