Question

【题目】如图所示，，是的中点，，，求证．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再结合条件可得到∠ANC＝90°，可证得结论．

证明：延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，

∵BM＝EM，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠CAD＋∠BAE＝180°，

∴∠ABF＝∠CAD，

∵BF＝AE，AD＝AE，

∴BF＝AD，

在△ABF和△CAD中，，

∴△ABF≌△CAD（SAS），

∴∠BAF＝∠ACD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAF＋∠CAF＝90°，

∴∠ACD＋∠CAF＝90°，

∴∠ANC＝90°，

∴AM⊥CD．