Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．

（1）求证：△ABE为等腰三角形；

（2）已知AC=11，AB=6，求BD长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5.

【解析】试题分析：（1）由垂直的定义得到由角平分线的定义得到∠EAF=∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF=∠DBF，等量代换得到∠AED=∠ABD，于是得到结论．

试题解析：(1)证明：∵BE⊥AD，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠EAF=∠BAF，

又∵在△AEF和△ABF中

∴∠AEF=∠ABF，

∴AE=AB，

∴△ABE为等腰三角形；

(2)连接DE，

∵AE=AB，AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分BE，

∴BD=ED，

∴∠DEF=∠DBF，

∵∠AEF=∠ABF，

∴∠AED=∠ABD，

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠AED=2∠C，

又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠C=∠EDC，

∴EC=ED，

∴CE=BD.

∴BD=CE=ACAE=ACAB=116=5.