【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），直线经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是x轴下方抛物线上一点，连接AC，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，过点Q作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两条直线相交于点K，PK交BC于点H，设QK的长为t，PH的长为d，求d与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）

（3）在（2）的条件下，PK交x轴于点R，过点R作RT⊥PQ，垂足为T，当PK=PT时，将线段QT绕点Q逆时针旋转90得到线段QL，M是线段PQ上一动点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N，连接ON、ML，当ML∥ON时，求N点坐标．

参考答案：

【答案】（1）y=-4x+3（2）（3）

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得点C的坐标为（0，3），把B、C两点坐标代入二次函数的解析式可求得b、c的值，即可得到二次函数的解析式；

（2）由（1）中所求二次函数的解析式易得点A的坐标为（1，0），结合点C（0，3）的坐标可得tan∠ACO=，由OB=OC易得∠OCB=∠OBC=45°，结合PK∥y轴，QK∥x轴可得∠KHQ=∠KQH=45°，由此可得KH=QK=t，由PQ∥AC可得∠ACB=∠PQB，结合∠OCB=∠PHB=∠PQB+∠QPK，可得∠QPK=∠ACO，则tan∠QPK=，由此可得d=2t；

（3）如下图2，延长交于点，延长交直线于点，过点作轴，垂足为，延长交于点，先由已知条件解PR=t，OR=3-t，由此可得点P的坐标为（3-t，-t），将点P的坐标代入解得t1=0（舍去），t2=1，由此可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ；结合已知条件进一步可求得点D的坐标为，由此即可求得直线OD的解析式为y=x，再由已知求出直线AC的解析式即可由此求出直线OD和AC的交点N的坐标了.

试题分析：

（1）把x=0代入y=-x+3，得y=3,

∵抛物线经过 ，

∴ 解得

∴，

∴抛物线为y=-4x+3

（2）如下图1，令，即，解得，∴ 点坐标为，∴ ，∵ 点坐标为，∴ ，∴

∵ ， ，∴ ， ∴， ∵轴，

∴，∵ 轴， 轴，∴，

∴，∴

∵，∴ ，∵ ，

∴，

即 ∴， ∵，

∴span>

∵，∴ ；

（3）如下图2，延长交于点，延长交直线于点，过点作轴，垂足为，延长交于点，

∵， ， ， ，

∴，

∴， ， ，

∵，

∴

∵，

∴， ，

∴,

将代入中得， ，

解得 (舍)， ，

∴， ， ， ， ， ，

， ， ， ，

∵，

∴，

∴， ，

∴

∴，

∵，

∴，

，由题意知，四边形是矩形，

∴，

由旋转知， ， ，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∴， ，

∵，

∴，

∵， ，

∴

∴，

∵

∴， ，由题意知四边形为矩形， ， ， ，

，

∴

设直线的解析式为，将代入得，解得，

∴直线的解析式为，设直线的解析式为，将， 代入得，解得，

∴直线的解析式为，令，解得，

∴点坐标为.

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