Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．

（1）求证：△BDE≌△CDF；

（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）用ASA证明△BDE≌△CDF；

（2）由BC=2AD，得∠BAC=90°，从而四边形AEDF是矩形，再由AE=AF即可得证.

试题解析：

证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，∴BE=CF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BDE≌△CDF．

（2）∵△BDE≌△CDF，∴BD=DC，DE=DF，

∵BC=2AD，∴AD=BC，∴∠BAC=90°，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形，

∵AE=AF，∴四边形AEDF是正方形．