Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标；
（2）如图①，点P是抛物线上位于x轴下方的一点，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，过点P，Q分别向x轴作垂线，垂足为点D，E，记矩形DPQE的周长为d，求d的最大值，并求出使d最大值时点P的坐标；
（3）如图②，点M是抛物线上位于直线AC下方的一点，过点M作MF⊥AC于点F，连接MC，作MN∥BC交直线AC于点N，若MN将△MFC的面积分成2：3两部分，请确定M点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得：A（﹣1，0）、C（4，5），

∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）C（4，5），

∴ ，

解得 ．

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）

（2）

解：由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1，

设点P为（t，t2﹣2t﹣3），﹣1＜t＜3

∵P、Q为抛物线上的对称点，

∴PQ=2|t﹣1|，

当t＞1时，d=2[2（t﹣1）+（﹣t2+2t+3）]=﹣2t2+8t+2=﹣2（t﹣2）2+10，

∵﹣2＜0，

∴当t=2时，d有最大值为10，即P（2，﹣3）；

当t＜1时，由抛物线的对称性得，点P为（0，﹣3）时，d有最大值10，；

综上，当P为（0，﹣3）或（2，﹣3）时，d有最大值10

（3）

解：过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，则∠ANM=∠ACB=45°，

∵MF⊥AC，

∴FH= MN，

∴ = = ，

∵A（﹣1，0，C（4，5），

∴直线AC的解析式为y=x+1，

设M（m，m2﹣2m﹣3），其中﹣1＜m＜4，则CG=4﹣m，

由MN∥BC得，N（m，m+1），

∴MN的长为：（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m+4，

当 = 时，则3MN=4CG，即3（﹣m2+3m+4）=4（4﹣m），

解得m1= ，m2=4（舍去），

∴M（ ，﹣ ），

当 = 时，则2MN=6CG，即2（﹣m2+3m+4）=6（4﹣m），

解得m3=2，m4=4（舍去），

∴M（2，﹣3）．

综上，当M的坐标为（ ，﹣ ）或（2，﹣3）时，MN将△MFC的面积分成2：3两部分．

【解析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而转化成顶点式，求得顶点坐标即可；（2）设点P为（t，t2﹣2t﹣3），﹣1＜t＜3，因为对称轴x=1，所以PQ=2|t﹣1|，然后分三种情况讨论即可求得；（3）过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，则∠ANM=∠ACB=45°，进而求得FH= MN，从而得出 = = ，根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，设M（m，m2﹣2m﹣3），其中﹣1＜m＜4，则CG=4﹣m，由MN∥BC得N（m，m+1），求得MN的长为：（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m+4，然后分两种情况：当 = 时，则3MN=4CG；当 = 时，则2MN=6CG；列出关于m的方程，解方程即可求得M的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的概念的相关知识，掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数，以及对二次函数的图象的理解，了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．