Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，且BE=CF，连结AE与BF相交于点G．将△ABC沿AB边折叠得到△ABD，连结DG．延长EA到点H，使得AH=BG，连结DH．

（1）求证：四边形DBCA是菱形．
（2）若菱形DBCA的面积为8 ， ，求△DGH的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC由折叠知AC=AD，BC=BD，

∴AC=AD=BC=BD，

∴四边形DBCA是菱形

（2）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

在△ABE与△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB=∠BFC，

∵四边形DBCA是菱形，

∴DA∥BC，DB∥AC，∠BDA=∠C=60°，

∴∠HAD=∠AEB，∠DBG=∠BFC，

∴∠HAD=∠DBG，

在△DBG与△DAH中，

，

∴△DBG≌△DAH（SAS），

∴DG=DH，∠BDG=∠ADH，

∴∠HDG=∠ADH+∠GDA=∠BDG+∠GDA=∠BDA=60°，

又∵DA=DB，DG=DH，

∴△DBA∽△DGH，

∴ ，

∵S△DBA= S菱形DBCA= ，

∴S△DGH=

【解析】（1）由△ABC是等边三角形和轴对称易得四边相等，证得四边形DBCA是菱形。
（2）由（1）中菱形DBCA易得△ABE≌△BCF从而利用等边三角形等量代换可得∠HAD=∠DBG，为证明△DBG≌△DAH做好条件，得到∠BDG=∠ADH最终可得△DBA∽△DGH；再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△DGH。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质和菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．