Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF= ， 求AF的长．

Answer 1

【答案】解：（1）∵直径AB交弦ED于点G，EG=DG，
∴AB⊥ED，
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴DE∥BC；
（2）连接BF，BD，
∵OD=1，CF=，
∴CD=OD+CF=，
∵BC是⊙O的切线，
∴BC2=CFCD=×=，
∴BC=，
∵∠CBF=∠CDB，∠BCF=∠DCB，
∴△CBF∽△CDB，
∴==3，
∴BD=3BF，
∵AF=BD，
∴AF=3BF，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2 ，
∴AB=2OD=2，
∴AF2+（AF）2=22 ，
∴AF=．

【解析】（1）根据垂径定理和切线的性质定理就可证得；
（2）连接BF，BD，根据切线长定理就可求得BC，进而根据三角形相似求得BD=BF，然后根据勾股定理就可求得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．