Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：

①∠AOB=90°+∠C；②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；④若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab．其中正确的是（　　）

A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】因为∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,所以∠OBA=∠CBA, ∠OAB=∠CAB,所以∠AOB=∠CBA－∠CAB==90°+ , ①正确,

因为EF∥AB,所以∠FOB=∠ABO,又∠ABO=∠FBO,所以∠FOB=∠FBO,所以FO=FB,

同理EO=EA,所以AE+BF=EF, ②正确,

当∠C=时,AE+BF=EF<CF+CE,所以E,F分别是AC,BC的中点, ③错误,

作OH⊥AC于H,

因为∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,所以点O在∠C的平分线上,

所以OD=OH,所以S△CEF= , ④正确,

故选C.