Question

【题目】已知，平行四边形ABCD中，连接AC，AC＝AB．过点B作BE⊥AC，垂足为E．延长BE与CD相交于点F：

（1）如图1，若AE＝2．CE＝1，求线段AD的长．

（2）如图2，若∠BAC＝45°，过点F作FG⊥AD于点G，连接AF、EG，求证：BE+EC＝EG．

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理得到BE=，BC=，根据平行四边形的性质即可得到结果；
（2）推出△AEB是等腰直角三角形，得到∠ABE=45°，设∠CBE=x，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°+x，求得∠EBC=22.5°，∠ACB=67.5°，推出A、B、C、F四点共圆，A、E、F、G四点共圆，得到∠CAF=∠CBE=22.5°，∠EGF=∠EAF=22.5°，求得∠AGE=67.5°，推出AE=GE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

（1）解：∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∵AE＝2，CE＝1，

∴AC＝AB＝3，

，

，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝；

（2）证明：∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∵∠BAC＝45°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴∠ABE＝45°，AE＝BE，

∵AB∥CD，

∴∠ACF＝45°，∠ABC+∠DCB＝180°，

设∠CBE＝x，

∴∠ABC＝45°+x，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°+x，

∵∠EBC+∠ECB＝90°，

∴x+45°+x＝90°，

∴x＝22.5°，

∴∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，

∵∠ABF＝∠ACF＝45°，

∴A、B、C、F四点共圆，

∴∠CAF＝∠EBC＝22.5°，

∵FG⊥AD，

∴∠AGF＝∠AEF＝90°，

∴A、E、F、G四点共圆，

∴∠EGF＝∠EAF＝22.5°，

∴∠AGE＝67.5°，

∵∠CAD＝∠ACB＝67.5°，

∴∠EAG＝∠AGE，

∴AE＝GE，

∵AC＝AB＝AE，

∴BE+EC＝AE+EC＝AC＝EG．