Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC.点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD=BC，点E在AC边上，CE=AM，连接MD、BE.

（1）补全图形；

（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；

（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB=5，BC=6，求出BM+BE的最小值.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析（2）MD=BE,证明见解析（3）作图见解析, BM+BE的最小值为

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）利用SAS即可证明△EAB≌△DAC，可得结论：BE=CD；

（3）当点M在BD上时，根据两点之间线段最短，即可得到BM+BE会有最小值，最小值为BD.

（1）补全图形如图

（2）MD=BE

证明：延长AM交BC于点F（如图2）.

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAM=∠CAM.

∵AD⊥AB，

∴∠MAD+∠BAM=90°.

∴∠MAD+∠CAM=90°

∵AB=AC，AM平分∠BAC，

∴AF⊥BC.

∴∠C+∠CAM=90°.

∴∠MAD=∠C.

又∵AM=CE，AD=BC，

∴△AMD≌△CEB.

∴MD=BE.

（3）点M的位置如图

∵AB=5，BC=6，

∴AD=BC=6，.

∴

∴BM+BE的最小值为.