Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．

1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；

（2）当△BEF为等腰三角形时，求AE的长；

（3）求动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动的过程中点F的运动路线长．

Answer 1

【答案】（1）△ADE∽△BEF；理由见解析；（2）或3或3．（3）cm.

【解析】

试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE=∠BEF，即可得出结论；

（2）分三种情况：①若EF=BF，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE=DE=即可；

②若EF=BE，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可；

③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可．

（3）由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出y是x的二次函数，即可得出结果．

试题解析：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，

∴∠A=∠B=45°，

∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=45°，

∴∠ADE=∠BEF，

∴△ADE∽△BEF；

（2）分三种情况

①如图1，

若EF=BF，则∠B=∠BEF，

又∵△ADE∽△BEF，

∴∠A=∠ADE=45°，

∴∠AED=90°，

∴AE=DE=；

②如图2，

若EF=BE，则∠B=∠EFB

又∵△ADE∽△BEF，

∴∠A=∠AED=45°，

∴∠ADE=90°，

∴AE=3；

③如图3，

若BF=BE，则∠FEB=∠EFB

又∵△ADE∽△BEF，

∴∠ADE=∠AED，

∴AE=AD=3．

综上所述，当△BEF为等腰三角形时，AE的长为或3或3．

（3）设AE=xcm，BF长为ycm．

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．

∴∠A=∠B=45°，AB=4，

由（1）得：△ADE∽△BEF，

∴，

∴，

∴y=-x2+x，

∴y=-x2+x =-（x-2）2+，

∴当x=2时，y有最大值=，

∵从运动的过程中可以得出点E运动的路程正好是2BF，

∴点E运动路程为2×=（cm）．