Question

【题目】如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)，动点P从点C出发．以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P，Q两点同时运动，当Q点到达O点时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，

(1)当t为何值时，四边形OCPQ为矩形？

(2)当t为何值时，以C，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形？

(3)E点坐标(5，0)，当△OEP为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)当t＝4时，四边形OCPQ为矩形；(2)当t＝或4时，以C，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形；(3)P1(1，3)，P2(2.5，3)，P3(4，3)．

【解析】

(1)根据矩形的对边相等可列方程，即可求出t的值；

(2) 当四边形CPQA为平行四边形时，分两种情况，点Q在A的左侧即CP＝AQ时和点Q在A的右侧即CP＝QA时，列方程可求得t的值；

(3) △OEP为等腰三角形，则有OE=OP,OE=EP,OP=EP三种情况，利用“两圆一线”即可得解.

由题意可知：0≤t≤6.

(1)∵四边形OCPQ为矩形，

∴CP＝OQ，

∴t＝12－2t，t＝4.

∴当t＝4时，四边形OCPQ为矩形．

(2)当四边形CPQA为平行四边形时，CP＝AQ，

即t＝12－8－2t，∴t＝.

当四边形CPAQ为平行四边形时，CP＝QA，

即t＝2t－(12－8)，∴t＝4，

∴当t＝或4时，以C，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形．

(3) ∵△OEP为等腰三角形，

则有OE=OP,OE=EP,OP=EP,

当OE=OP时,以O为圆心,OE长为半径画弧,交BC于点P,此时OP=OE=5,

∵OC=3,

∴CP=4,

∴P (4，3);

当OE=EP时,以E为圆心,OE长为半径画弧,交BC于点P,此时PE=OE=5,

∴CP=5-4=1,

∴P (1，3);

当OP=EP时,作OE的垂直平分线交BC于点P,

∴CP=2.5,

∴P (2.5，3),

综上,P1(1，3)，P2(2.5，3)，P3(4，3)．