Question

【题目】如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G．

（1）求证：BF=AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论）

（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S四边形MNPQ：S正方形ABCD ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．

∴∠DAE+∠BAE=90°．

∵AE⊥BF，

∴∠AGB=90°，

∴∠GAB+∠GBA=90°，

∴∠DAE=∠ABG．

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（ASA），

∴BF=AE；

（2）

解：）结论成立 即AE=BF．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．

∴∠DAE+∠BAE=90°．

∵AE⊥BF，

∴∠AGB=90°，

∴∠GAB+∠GBA=90°，

∴∠DAE=∠ABG．

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（ASA），

∴BF=AE；

（3）

解：∵AF：AD=4：3，设AF=4a，AD=3a，

∴DF=a．

∵△ABF≌△DAE，

∴AF=DE，

∴AF﹣AD=DE﹣DC，

∴DF=CE，

∴CE=a．

∵点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，

∴MN是△AEF的中位线，MQ是△ABF的中位线，

∴MN= AE，MN∥AE，MQ= BF，MQ∥BF．

∴MN=MQ．∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90°，

∴四边形MNPQ是正方形．

在Rt△ABF中，由勾股定理，得

BF=5a．

∴MN=MQ= ．

∴S四边形MNPQ= ．

∵S正方形ABCD=9a2，

∴S四边形MNPQ：S正方形ABCD= ：9a2=25：36．

答：S四边形MNPQ：S正方形ABCD=25：36．

【解析】（1）根据正方形的性质就可以求出△ABF≌△DAE，就可以得出结论；（2）根据正方形的性质就可以求出△ABF≌△DAE就可以得出BF=AE；（3）根据条件可以设AF=4a，AD=3a，就可以求出DF=CE=a，由勾股定理就可以求出AE，由中位线的性质就可以求出MN的值，表示出正方形MNPQ的面积，就可以求出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)．