Question

【题目】已知：如图△ABC中，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O与点F，点E在AC上，且∠EBC= ∠BAC，BE交⊙O于点D．

（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=10，cos∠EBC= ，求线段BE和BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°=∠ADE，

∴∠DAB+∠ABD=90°，

∵BC切⊙O于B，

∴∠ABD+∠EBC=90°，

∴∠EBC=∠BAD，

∵∠EBC= ∠BAC，

∴∠EAD=∠BAD，

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED（ASA），

∴AB=AE．

（2）

解： ∵∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC= ，

∴在Rt△BAD中，cos∠BAD= = ，

∴AD=4 ，

由勾股定理得：BD=2 ，

∵△ABD≌△AED，

∴BD=DE，

∴BE=2BD=4 ，

过E作EH⊥BC于H，

则EH∥AB，

∵cos∠EBC= ，BE=4 ，

∴BH=BEcos∠EBC=8，

由勾股定理得：EH= =4，

∵EH∥AB，

∴△CHE∽△CBA，

∴

∴ ，

∴CH=5 ，

∴BC=8+5 =13 ．

【解析】（1）连接AD，求出∠EBC=∠BAD，推出∠BAD=∠EAD，证出△ABD≌△AED即可．（2）根据∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC= 求出AD，根据勾股定理求出BD，即可求出答案，求出EH，BH，根据相似求出CH，即可求出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．