Question

【题目】如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．

（1）判断△COD的形状，并加以说明理由．

（2）若AD=1，OC=，OA=时，求α的度数．

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△COD是等边三角形，理由见解析；（2）α=150°；（3）α为100°、130°、115°时，△AOD为等腰三角形．

【解析】

（1）根据旋转得出CO=CD，∠DCO=60°，根据等边三角形的判定推出即可．
（2）根据三条边的关系得到△AOD为直角三角形，得到∠ADO=90°，从而求出α的值．
（3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分为三种情况：①∠ADO=∠AOD，②∠ADO=∠OAD，③∠OAD=∠AOD，代入求出即可．

（1）∵△ADC≌△BOC，

∴CO=CD，

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴∠DCO=60°，

∴△COD是等边三角形．

（2）∵AD=1，OC=，OA=

∴OA2=AD2+OC2

∴△AOD是直角三角形

∴∠ADO=90°

∴α=90°+60°=150°

（3）∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD=360°﹣130°﹣∠α﹣60°=170°﹣∠α，

∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=∠α﹣60°，

∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠ADO=180°﹣（∠α﹣60°）﹣（170°﹣∠α）=70°，

若∠ADO=∠AOD，即∠α﹣60°=170°﹣∠α，

解得：∠α=115°；

若∠ADO=∠OAD，则∠α﹣60°=70°，

解得：∠α=130°；

若∠OAD=∠AOD，即70°=170°﹣∠α，

解得：∠α=100°；

即当α为100°、130°、115°时，△AOD为等腰三角形．