Question

【题目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF．

(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．

(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长(直接写出结果)．

Answer 1

【答案】(1) DF＝CF，DF⊥CF；(2)(1)中的结论仍然成立，证明见解析；(3)CF＝．

【解析】

（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=CF，根据∠DFE=2∠DBF，∠CFE=2∠CBF，得到∠EFD+∠EFC=2∠ABC=90°，DF⊥CF．
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GBF，得到DE＝GB，DF＝GF，根据AD=DE，AB=BC，得到DC＝GC又因为∠ACB=90°，所以DF=CF且DF⊥CF．
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，求出得CF的值．

(1) DF＝CF． DF⊥CF．

(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：

如解图①，延长DF交BC于点G．

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，

∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．

∵F为BE的中点，∴EF＝BF，

∴△DEF≌△GBF(AAS)，

∴DE＝GB，DF＝GF．

∵AD＝DE，∴AD＝GB．

∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．

∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．

(3)CF＝．